P5118: 贪吃的九头龙-【2021暑期训练】T4Day2T3
【题目描述】
贪吃的九头龙【问题描述】
传说中的九头龙是一种特别贪吃的动物。虽然名字叫“九头龙”，但这只是说它出生的时候有九个头，而在成长的过程中，它有时会长出很多的新头，头的总数会远大于九，当然也会有旧头因衰老而自己脱落。
有一天，有M个脑袋的九头龙看到一棵长有N个果子的果树，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必须照顾到每个头，因此它需要把N个果子分成M组，每组至少有一个果子，让每个头吃一组。
这M个脑袋中有一个最大，称为“大头”，是众头之首，它要吃掉恰好K个果子，而且K个果子中理所当然地应该包括唯一的一个最大的果子。果子由N-1根树枝连接起来，由于果树是一个整体，因此可以从任意一个果子出发沿着树枝“走到”任何一个其他的果子。
对于每段树枝，如果它所连接的两个果子需要由不同的头来吃掉，那么两个头会共同把树枝弄断而把果子分开；如果这两个果子是由同一个头来吃掉，那么这个头会懒得把它弄断而直接把果子连同树枝一起吃掉。当然，吃树枝并不是很舒服的，因此每段树枝都有一个吃下去的“难受值”，而九头龙的难受值就是所有头吃掉的树枝的“难受值”之和。
九头龙希望它的“难受值”尽量小，你能帮它算算吗？
例如图1所示的例子中，果树包含8个果子，7段树枝，各段树枝的“难受值”标记在了树枝的旁边。九头龙有两个脑袋，大头需要吃掉4个果子，其中必须包含最大的果子。即N=8，M=2，K=4：
图一描述了果树的形态，图二描述了最优策略。
【输入文件】
输入文件dragon.in的第1行包含三个整数N (1<=N<=300)，M (2<=M<=N)，K (1<=K<=N)。 N个果子依次编号1,2,...,N，且最大的果子的编号总是1。第2行到第N行描述了果树的形态，每行包含三个整数a (1<=a<=N)，b (1<=b<=N)，c (0<=c<=10^5)，表示存在一段难受值为c的树枝连接果子a和果子b。
【输出文件】
输出文件dragon.out仅有一行，包含一个整数，表示在满足“大头”的要求的前提下，九头龙的难受值的最小值。如果无法满足要求，输出-1。
【样例输入】
8 2 4
1 2 20
1 3 4
1 4 13
2 5 10
2 6 12
3 7 15
3 8 5
【样例输出】
4
【样例输入】复制
【样例输出】 复制
【提示】
先对多叉树转成二叉树,便于DP.
题目给出了第一个点必须吃的果子个数,和最多有几个头,那么如果头的个数 m>2,交替着吃肯定是最优的,
如果 =2,那么就不好说了,我们对节点进行染色,将"大头"吃的染成色 0,其他头吃的染成色 1,那么对于
m>2的情况,一条边的两端都被染成 1,那么不需要增加"难受值",只增加两端色为 0的边,如果 m=2,那么只
要两端染成相同色就得增加"难受值".
状态转移方程为:
f[i,j,p]=min{f[lc[i],k,0]+w[i],f[lc[i],k-1,1]+w[i]*ord(m=2)}+f[rc[i],j-k,p]
边界条件:f[i,j,p]=INF(j<0),f[0,0,p]=0.目标状态:f[lc[1],tot-1,0].
核心代码:
procedure dfs(x:longint); {小优化,搜个数}
begin
if x=0 then exit; {边界}
a[x]:=1;
dfs(tree[x].lc);
dfs(tree[x].rc);
a[x]:=a[x]+a[tree[x].lc]+a[tree[x].rc];
end;
procedure init;
var
i,x,y,d:longint;
begin
fillchar(tree,sizeof(tree),0);
readln(n,m,p);
for i:=1 to n-1 do
begin
readln(x,y,d);
tree[y].rc:=tree[x].lc; {树转二叉树}
tree[x].lc:=y;
tree[y].data:=d;
end;
fillchar(a,sizeof(a),0);
dfs(1);
end;
function dp(x,k,la:longint):longint;
var
i,l,r,temp:longint;
begin
if k<0 then exit(INF); {边界}
if (x=0)and(k=0) then
begin
f[x,k,la]:=0;
exit(0);
end;
if f[x,k,la]<>-1 then
exit(f[x,k,la]);
f[x,k,la]:=INF;
for i:=0 to min(k,a[x]) do
begin
l:=dp(tree[x].lc,i-1,0)+(ord(la=0)*tree[x].data);
{决策1}
r:=dp(tree[x].lc,i,1)+(ord(la=1)*ord(m=2)*tree[x].data); {决策2}
temp:=min(l,r)+dp(tree[x].rc,k-i,la);
f[x,k,la]:=min(f[x,k,la],temp);
end;
exit(f[x,k,la]);
end;